IGUALDAD, DESIGUALDAD, ECUACIONES E INECUACIONES

Definición de Igualdad Matemática

La idea de igualdad en el ámbito de la matemática expresa que dos objetos son iguales si son el mismo objeto. De esta manera, 1+ 1 y 2 se refieren al mismo objeto matemático. Y el hecho de que ambos sean lo mismo se expresa a través del signo =. De esta manera, la igualdad matemática está formada por dos miembros diferenciados: el miembro situado a la izquierda y antes del signo = y el miembro derecho que se encuentra después del =.

Propiedades de la igualdad matemática

Si a una igualdad le sumamos el mismo número en ambos partes, se produce otra igualdad (por ejemplo, en la igualdad 5+3= 8. al sumar 2 en las dos partes de la igualdad se crea una igualdad con valor 10). Lo mismo sucede si restamos el mismo número a ambas partes de la igualdad, si lo multiplicamos o si lo dividimos. En todos estos casos sigue produciéndose otra igualdad matemática.

DEFINICION DE DESIGUALDAD

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual 

< menor que 

> mayor que 

≤ menor o igual que 

≥ mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto ;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación .

Por ejemplo:

X + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos:

3 < 4,       4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo:

2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b          / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x   / :5

3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/53. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b             / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo:

15 – 3 • x ≥ 39                   / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

Sabemos que una desigualdad es similar a una ecuación , donde hay dos expresiones separadas por un símbolo que las relaciona.

En una desigualdad también hay dos expresiones separadas por un símbolo que indica como una  expresión se relaciona con la otra.

Por ejemplo, en una ecuación como 7x = 49 , el signo = indica que las expresiones son equivalentes.

En una desigualdad, como 7x > 49 , el signo > indica que el lado izquierdo es mayor que el lado derecho.

Para resolver la desigualdad 7x > 49 , seguimos los mismos pasos que para resolver las ecuaciones.

En este caso, dividimos ambos lados por 7 entonces

x > 7 (equis mayor que 7). Esto implica que x es un valor que es mayor a 7 y nunca igual o menor a 7.

En las desigualdades también se puede encontrar el signo “menor que” (<).

Repasemos las propiedades de las desigualdades

Las principales propiedades de las desigualdades son:

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva.

Ejemplo:

7 < 15 

7 + 3 < 15 + 3 , o sea que 

10 < 18

2) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.

Ejemplo:

7 < 15 

7 × 3 < 15 × 3 , o sea que 

21 < 45

3) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Ejemplo: 7 < 15 

7(-3) < 15(-3) , o sea que 

- 21 > - 45 " (se invirtió el signo).

Esta tercera propiedad es la responsable de que las desigualdades, cuando tienen variable en el denominador, se resuelvan de manera diferente a las ecuaciones que tienen también a la variable en el denominador.

Y no solamente eso, sino que cuando se despeja la incógnita teniendo coeficiente negativo, como realmente se multiplica en ambos lados por una cantidad negativa (no “pasa” al otro lado dividiendo), el signo de la desigualdad se invierte.

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

Uso de ecuaciones

La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newtonrelaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.

Ejemplos:

• ecuación de estado
• ecuación de movimiento
• ecuación constitutiva

El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.

Según autores como Ian Stewart, "el poder de las ecuaciones (...) recae en la correspondencia filosóficamente difícil entre las matemáticas -una creación colectiva de mentes humanas- y una realidad externa física."²​

TIPO DE ECUACIONES

Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:

• Ecuaciones algebraicas
  • De primer grado o lineales
  • De segundo grado o cuadráticas
  • De tercer grado o cúbicas
  • Diofánticas o diofantinas
  • Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
• Ecuaciones funcionales

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ.

Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Cuando A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene una ecuación algebraica polinómica.

En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto A es un conjunto de vectores reales y la función f es un operador lineal.

INECUACIONES

Del mismo modo en qué se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las qué son válidas sólo para algunos valores de las variables se conocen cómo inecuaciones condicionales.​ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: ${\displaystyle |x|\leq |x|+|y|}$.
• Ejemplo de inecuación condicional: ${\displaystyle -2x+7<2}$.

${\displaystyle \overbrace {3x-1} ^{\text{primer miembro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo miembro}}}$

la variable ${\displaystyle x}$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

${\displaystyle x=5}$

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.

El símbolo «=», que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, que consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.¹​

CLASIFICACION

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: ${\displaystyle x<0}$.

• • De dos incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y}$.
  • De tres incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y+z}$.
  • etc.

• Según la potencia de la incógnita,
  • De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: ${\displaystyle x+1<0}$.
  • De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+1<0}$.
  • De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: ${\displaystyle x^{3}+y^{2}<0}$.
  • etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0}$
• ${\displaystyle 3ax^{2}+bx+c\geq 0}$
• a = 0 

Sistema de Inecuaciones

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Es un conjunto de inecuaciones de primer grado

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}ax+b<0\\cx+d\geq 0\\...\\lx+m>0\\\end{array}}\right.}$ ||left}}

La solución del sistema será el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones.

PREGUNTAS:

¿QUE SON LAS IGUALDADES?

En matemáticas, un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto matemático se llama igualdad matemática. Dos objetos matemáticos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo valor.

¿QUE SON LAS DESIGUALDAD?

Relación entre dos expresiones que no son iguales, con frecuencia se escriben con los símbolos >, >, < y <, que significan mayor que, mayor o igual que, menor que, menor o igual que, respectivamente.

¿QUE SON LAS ECUACIONES?

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Ejemplos de ecuaciones:

36 + x	=	– 12
115	=	4x – 41
x + 124	=	70 – 2
5x + 3y – 4	=	0
5 – ab	=	ax – by
2x + 8	=	3x – 12
0	=	3xy + 3x – 5
2/3x ÷ 4/7y	=	– 28

¿QUE SON LAS INECUACIONES?

Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades

desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o

incógnitas.

¿PARA QUE SIRVEN LAS ECUACIONES?

Las ecuaciones sirven básicamente, para resolver cualquier tipo de problemas, ya sean matemáticos de la vida diaria o en cualquier rama de una ciencia.

Ejemplo:  Usas ecuaciones cuando estas haciendo compras, muchas veces no sabes cuantas frutas y verduras debes comprar con tu dinero y alli haces

frutas*(precio de la fruta)+verduras*(precio de las verduras)= dinero que tienes disponible.

¿PARA QUE SIRVEN LAS INECUACIONES?

 Es un Sistema de inecuaciones, puede servir para calcular problemas de estadística. Por ejemplo, todos las mujeres mayores a 21 años ganan "x" suma de dinero. Todos los hombres mayores a 20 años, ganan "x" sumas de dinero.